1.3. РАСШИРЕНИЕ ГАЗА В СОПЛЕ

    В предыдущем разделе приведен метод расчета температуры адиабатического горения и состава продуктов в камере сгорания. Рассмотрим теперь более детально процесс расширения продуктов сгорания в сопле. Для того чтобы выявить важные особенности протекания химических реакций, пренебрежем диссипативными потерями, связанными с трением и теплопередачей, и будем считать, что на входе в сопло газы имеют нулевую скорость, а их температура и состав найдены по описанной выше процедуре.

    Известно, что энтальпия торможения продуктов сгорания высока и распределена по различным степеням свободы молекул в виде поступательного, вращательного и колебательного движений, а также энергии диссоциации молекул (энергию электронного возбуждения и ионизации можно не рассматривать, так как температуры в камере сгорания не настолько высоки).

    Поскольку при расширении газов в сопле значительная часть энтальпии преобразуется в кинетическую энергию, возникает вопрос, какие из степеней свободы могут запаздывать в процессе такого преобразования. Равновесие по поступательным и вращательным степеням свободы достигается очень быстро, тогда как релаксация колебательной энергии к новому равновесному состоянию для молекул O₂ и Н₂ при температуре T_к происходит за времена порядка 10^-8 с. Время релаксации колебательной энергии уменьшается с повышением температуры пропорционально exp(T^-1/3). Что же касается процесса релаксации к равновесию по диссоциации, то он может оказаться существенным при временах расширения порядка 10^-4 с и меньше, что характерно для малоразмерных двигателей (с тягой ~250 Н и длиной сопла менее 5 см). Для двигателей тягой ~ 500 H и выше эти эффекты, как правило, несущественны, хотя для двигателей на высокоэнергетических топливах и камер с низкими значениями p_к их все же надо рассматривать.

    Если характерные времена реакции много меньше характерного времени расширения газа в сопле, то устанавливается химическое равновесие и о таком течении говорят как о равновесном. Если же расширение происходит настолько быстро, что химические реакции в сопле не успевают произойти, то говорят о замороженном течении. Эти два случая являются предельными и соответствуют бесконечной и нулевой скоростям реакции. В общем случае химические реакции развиваются с некоторой конечной скоростью. В прошлом при расчете характеристик ракетных двигателей течение полагали либо равновесным, либо замороженным [59]; к настоящему же времени появилась возможность расчета рабочего процесса с учетом точных конечных скоростей химических реакций для все более расширяющегося класса ракетных топлив. Существует, однако, и несколько полезных приближенных подходов, в которых используется метод Брэя [16, 17] для сверхзвукового сопла. Отметим, что два указанных выше предельных процесса являются изоэнтропическими, тогда как при конечной скорости реакции энтропия возрастает.

    Изоэнтропичность равновесного и замороженного течений можно проверить следующим образом. Из закона сохранения энергии следует:

    а если пренебречь диссипативными потерями, то

(1.27)

    Обобщенное уравнение с учетом химических реакций имеет вид

(1.28)

    Здесь _j - химический потенциал компоненты j, а Y_j, - ее массовая концентрация. Из уравнений (1.27) и (1.28) следует

(1.29)

    В случае когда химический состав заморожен, т.е. dY_j=0, имеем dS=0. Это означает, что замороженное течение является изоэнтропическим.

    Для одноступенчатой обратимой химической реакции скорость образования компоненты j можно записать в следующем виде:

(1.30)

    где v_j - стехиометрические коэффициенты. Если за время dt степень развития некоторой реакции R незначительна, то

(1.31)

    Здесь величина S_R содержит все входящие в уравнение реакции члены, которые могут изменяться по мере расширения газа в сопле. Полное изменение величины Y_j можно записать следующим образом:

(1.32)

    Подставляя это соотношение в (1.29), получим

    или, после изменения порядка суммирования,

(1.33)

    Но член с суммированием по j есть не что иное, как изменение свободной энергии за время dt. Записав

    окончательно получим

(1.34)

    Если dS_R = 0, т.е. константа скорости реакции стремится к нулю, мы вновь приходим к уравнению (1.29). При равновесном течении = 0, поскольку это и есть условие химического равновесия.

Рис. 2. Изменение энтальпии при рекомбинации
диссоциированных продуктов сгорания [53].

    На рис. 2 приведена трехмерная диаграмма состояния химически реагирующей системы в координатах энтальпия - энтропия - состав. Для простоты здесь рассмотрена координата лишь одной реакции. На диаграмме показаны две плоскости постоянной энтропии: в плоскости A течение происходит при условии химического равновесия и направлено из точки С в точку I; в плоскости В, соответствующей большему значению энтропии, реализуется течение без изменения состава из точки G в точку А. Между точками I и G реакция протекает с конечной скоростью, и состояния системы между этими точками по существу неопределенны. Чтобы определить их, следует выполнить полный расчет с учетом конечной скорости химического превращения. Такой метод довольно сложен, требует много времени и здесь не рассматривается. Ввиду того что существует значительная неопределенность в константах скоростей химических реакций, оправданно применение упрощенной процедуры расчета.

    Замечено, что переходная область от равновесного к замороженному течению очень узка, и, согласно Брэю, при рассмотрении течения с множеством химических реакций можно выбрать одну определяющую реакцию, которая и станет предметом исследования. Хотя существует целый ряд элементарных стадий химического превращения, все же к наиболее медленным стадиям следует отнести процессы рекомбинации атомов при тройном соударении. Разумеется, в каждом конкретном случае следует выбирать соответствующую определяющую реакцию. Например, для системы Н₂ - O₂ такой реакцией является

    .

    Чтобы определить состояние системы, в котором выбранная реакция "замораживается", Брэй оценивает порядок различных членов уравнения реакции:

    где r_f и r_b-скорости прямой и обратной реакций соответственно. Проанализируем три возможных случая.

    1. Если течение близко к равновесному, как и в начале расширения, то

    Тогда

    2. В переходной области все параметры: r_f , r_b и | u (dY_i / dz) | - одного порядка.

    3. Если течение близко к замороженному, то либо r_f << r_b , либо r_b << r_f , и величина | u (dY_i / dz) | имеет тот же порядок, что и большая из двух скоростей реакций:

Рис. 3. Изменение химического состава продуктов сгорания вдоль сопла с
переходом от равновесного к замороженному течению [53].

    На рис. 3 эта ситуация показана графически. Поскольку переходная область очень мала, то условие замораживания примет вид

    Положив, что в точке, определяемой одним из этих уравнений, происходит замораживание реакции, можно оценить входящие в них величины, рассмотрев течение, близкое к равновесному:

    Чтобы выполнить расчет, следует сначала определить по всей длине сопла состав, давление, температуру, скорость и т.д. для равновесного течения, а затем рассчитать соответствующие значения r_f и сравнить их со значениями величины | u (dY_i / dz) |. Практически всегда замораживание происходит за критическим сечением сопла, поэтому такое сравнение можно проводить, начиная с критического сечения. Когда условие (1.39) удовлетворяется, расчет продолжается в приближении замороженного течения. Разумеется, оба расчета изоэнтропические. Окончательное значение разности энтальпий определяют, рассчитав разности энтальпий для равновесного и замороженного течений и просуммировав их. Тогда .

Рис. 4. Влияние соотношения компонентов топлива на расчетные значения удельного импульса смеси H2 - O2 при разном характере течения в сопле ракетного двигателя ( pк = 2,07 МПа, Aвых / Aкр = 40 ). 1 - замороженное течение; 2 - рекомбинация по типу     ; 3 - модифицированное решение Брэя; 4 - равновесное течение; o - расчётные точки с учётом кинетики химических реакций.

    На рис. 4 приведены результаты расчетов удельного импульса для топлива Н₂ - O₂ при p_к = 2,07 МПа и степени расширения сопла, равной 40, в виде зависимости от отношения массы окислителя к массе горючего.

Рис. 5. Зависимость расчётного удельного импульса для топлива H₂ - O₂ от давления в камере и соотношения компонентов топлива при разном характере течения в сопле ракетного двигателя.

	равновесное течение;
	модифицированное решение Брэя;
	замороженное течение;

    На рис. 5 показано изменение величины в зависимости от давления в камере (до 6,89 МПа) для двух значений отношения . Видно, что при увеличении давления результаты кинетических расчетов приближаются к равновесному решению, а при очень низких р_к они близки к "замороженному" решению. Эта особенность является одной из причин того, что для достижения высоких I_уд на новых ЖРД типа маршевого двигателя ВКС "Спейс Шаттл" используются очень высокие давления в камере сгорания.

Рис. 2. (повтор).

    Процедура расчета характеристик камеры показана на рис. 2. Модифицированный процесс Брэя изображается следующим образом: течение начинается из точки С, соответствующей условиям в камере сгорания, и происходит вдоль равновесной кривой до точки замораживания В, расположенной сразу за горловиной сопла. Поскольку между точками С и В течение предполагается равновесным, процесс на этом участке считается изоэнтропическим. Далее процесс развивается из точки В в точку R, оставаясь замороженным.

    Легко получить оценку, допустив, что до критического сечения течение равновесное, а после него - замороженное. Такой процесс также происходит в плоскости A и изображен линией C-T-S на рис. 2. На рис. 2 показаны также соответствующие изменения энтропии: полностью равновесное течение представлено линией С-Е, полностью замороженное - C-F, течение с конечными скоростями реакций - C-I-G-A, модифицированное приближенное решение Брэя - C-B-R и приближенное решение Брэя - C-T-S.

    Наконец, интересно отметить, что в недавней работе Глика и Акри [55] показана приемлемость одномерного расчета для РДТТ. Как станет ясно из дальнейшего изложения, для ЖРД этот вывод несправедлив.