3.5. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ ГОРЕНИЯ СМЕСЕВОГО ТОПЛИВА

3.5.1. ДОПУЩЕНИЯ

    Ниже выведены основные уравнения, используемые в большинстве моделей горения, и рассчитаны некоторые характеристики процесса [64, 178]. При этом сделаны следующие допущения.

1. Задача рассматривается в одномерном приближении.
2. Поскольку весьма трудно определить переход от ламинарного течения к турбулентному, горение в газовой фазе считается ламинарным, и какие-либо изменения величин в плоскости, перпендикулярной направлению осредненного потока, отсутствуют.
3. Переход из твердого состояния в газообразное происходит в плоскости (см. обсуждение в разд. 5.3).
4. Температура газа за фронтом пламени по потоку равна температуре адиабатического пламени Т_гор. Следовательно, от фронта пламени вниз по течению тепловой поток вследствие теплопроводности отсутствует. Вся энергия, выделяемая в химической реакции, расходуется на прогрев твердой фазы от температуры Т₀ далеко в глубине заряда до температуры T_s на поверхности раздела между твердой и газовой фазами, на фазовое превращение и нагрев газа до температуры Т_гор.
5. Поглощение излучения и химические реакции в твердой фазе не учитываются.
6. Вязкостью пренебрегается.

    Рис. 34 иллюстрирует эту упрощенную модель.

 
Рис. 34. Упрощенная модель горения СТТ

3.5.2. УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ В ТВЕРДОЙ ФАЗЕ

    Для упрощения анализа сделаем еще три допущения:

7. Твердая фаза несжимаема, однородна и изотропна (справедливость этого допущения будет обсуждена в конце раздела).
8. Теплопроводность и теплоемкость твердой фазы не зависят от температуры (это разумное допущение, особенно если пользоваться средним значением температуры между Т₀ и Т_s).
9. Реакция разложения и химические реакции протекают на границе раздела твердая фаза - газ (это допущение, согласно экспериментальным данным, приемлемо для многих топлив [64]).

 
Рис. 35. Обмен энергией в СТТ

    Поскольку давление в твердой фазе распределено равномерно, процесс описывается уравнением сохранения энергии (рис. 35)

(3.21a)

    Как правило, скорость горения r изменяется во времени, поэтому уравнение (3.21а) следует решать численно. Такая ситуация характерна для быстрых изменений r, например при воспламенении, погасании или вибрационном горении. Для стационарного горения получаем уравнение

(3.21б)

    с граничными условиями T = T_s при х=0 и T = T₀ при х = -.

    Однократное интегрирование дает

(3.22)

    После второго интегрирования имеем

(3.23)

    где - коэффициент температуропроводности. Воспользовавшись граничными условиями, получим

(3.24)

3.5.3. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ТВЕРДАЯ ФАЗА-ГАЗ

    Для твердой фазы скорость горения равна r при х = - (рис. 35), и, согласно допущению (7), она постоянна вплоть до поверхности горения. Уравнения неразрывности и энергии на поверхности раздела имеют вид

(3.25)

(3.26)

    Энтальпии в уравнении энергии включают тепловой эффект реакции и скрытую теплоту фазового перехода. Обозначив последнюю величину L_s = h_s,r - h_sт и считая ее постоянной, получим для стационарных условий:

(3.27)

    Если горение неустойчиво, то следует использовать другой подход [33].

3.5.4. УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ В ГАЗОВОЙ ФАЗЕ

    Возвращаясь к рис. 35, запишем уравнения неразрывности и сохранения компонент:

(3.28)

(3.29а)

    Здесь - скорость образования i-й компоненты в химической реакции. Вводя массовую долю , получим

(3.29б)

    Скорость i-й компоненты u_i можно записать в виде суммы средней скорости газа u_г и скорости диффузии i-й компоненты U_i, относительно средней скорости: u_i = uг +U_i. Используя это определение, получим

(3.29в)

(3.29г)

    так как по (3.28) . Если предположить, что выполняется закон Фика и, более того, что все компоненты имеют одинаковые коэффициенты диффузии D, т. е.

(3.30)

    то получим уравнение сохранения для i-й компоненты в окончательном виде:

(3.31)

    Обозначая через е полную внутреннюю энергию (тепловую и кинетическую), включая работу pu_г, совершаемую силами давления, и учитывая, что каждая компонента переносит свою энтальпию со скоростью [последнее равенство следует из (3.30) ], запишем уравнение сохранения энергии в виде

(3.32а)

    Поскольку , возможна альтернативная запись:

(3.32б)

    Используя (3.28), последнее уравнение можно переписать в виде

(3.32в)

    Теперь, положив , получим для левой части уравнения:

(3.32г)

    Здесь использовано уравнение (3.31) и соотношение

    Полагая c_г i = const и учитывая, что теплоемкость газа определяется как , а , где Q - тепловой эффект, а - скорость реакции, получим для правой части:

(3.32д)

    Из (3.32в,д) окончательно имеем

(3.33а)

    Предположив, что все газы имеют одинаковую теплоемкость, это уравнение можно упростить, так как

    и, следовательно,

(3.33б)

    Для стационарного течения последнее уравнение принимает вид

(3.33в)

    Это уравнение можно решить, если предположить, что химическая реакция протекает в очень узком слое на расстоянии х = х_* от поверхности раздела твёрдой и газовой фаз, т. е. , где = const, а  - функция, как обычно, удовлетворяет условию  = 0 при 0<х<х_* и

    Таким образом, для 0<x<x_* получаем уравнение

(3.34)

    которое при граничных условиях T = T_s и dT / dx = (dT / dx)_s,г при х + 0 имеет решение

(3.35a)

    При х = х_* имеем T = T_гор и, следовательно,

(3.35б)

    где -поток массы. Поскольку тепловой эффект реакции удовлетворяет соотношению

    то

(3.35в)

    С другой стороны, тепло, поступающее на поверхность раздела, определяется выражением

    так что расстояние от поверхности до фронта пламени х_* можно рассчитать по формуле

(3.36)

3.5.5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ПРОЦЕССА ГОРЕНИЯ

    Теперь, используя константы и физико-химические свойства ТРТ, приведенные в табл. 6, рассчитаем значения некоторых характеристических параметров зоны горения.

Номинальное давление  p   5*106 H*м-2  Средняя температура газа  Tг   1750 К  Средняя молекулярная масса газообразных продуктов  W   27 кг*кмоль-1  Универсальная газовая постоянная  R0   8310 Дж*кмоль-1*К-1  Номинальная скорость горения твёрдого топлива  r   10-2 м*с-1  Средняя плотность топлива     1750 кг*м3  Коэффициент теплопроводности топлива     0.418 Дж*м-1*К-1*с-1  Удельная теплоёмкость топлива  cт   1260 Дж*кг-1*К-1  Средний коэффициент теплопроводности газовой фазы  г   0.0836 Дж*м-1*К-1*с-1  Средняя удельная теплоёмкость газовой фазы  cг   1670 Дж*кг-1*К-1  Температура адиабатического пламени  Тгор   2500 К  Температура поверхности  Тs   900-1000 К  Температура в объёме топлива  T0   300 К  Тепловыделение в пламени  Qгор   2.72*106 Дж*кг-1  Коэффициент диффузии при ( p0, T0 )  Dг,0   1600 м2*с-1  Давление отнесения для Dг,0  p0   105 Н*м-2  Реакция ПХА  Константа скорости  ПХА   1,12 г*см-3*атм ПХА*с-1  Порядок  ПХА   1,8  Реакция окислитель/горючее  Константа скорости  о/г   30 г*см-3атм о/г*с-1  Порядок  о/г   1.5  Закон скорости горения ( r - в см*с-1, p - в атм. )  Топливо с частицами размером 200мкм     r = 0.089   p0.53  Топливо с частицами размером 20мкм     r = 0.156   p0.52

    Предположим, что при горении ТРТ устанавливается температурный профиль, показанный на рис. 36. Если не включать в рассмотрение теплоту фазового превращения в объеме твердой фазы, то тепловой поток на твердую поверхность определяется соотношениями

  со стороны твердой фазы,
  со стороны газа,

    где L_s следует рассматривать как "тепловой эффект" эндотермической реакции газификации на поверхности топлива.

Рис. 36. Принятый профиль температуры [64].

    Используя определение толщин тепловых слоев в твердой фазе _т и в газе _г, приведенные на рис. 36, получим

		(3.37)

    Подставляя величины из табл. 6, получим для толщины _т прогрева твердой фазы в тепловой волне значение 19,1 мкм при T_S=900К. Используя измеренное Саммерфилдом значение _т = 1,935*10^-7 м²*c^-1 и полагая r = 10^-2 м²*c^-1, получим _т = 19,35 мкм, что хорошо согласуется с расчетом. Для газовой фазы рассмотрим три случая: когда существует теплоотвод интенсивностью 100 кал*г^-1, теплоподвод интенсивностью 100кал*г^-1 и когда поверхностная реакция отсутствует. Результаты расчетов приведены в табл. 7 и показаны графически на рис. 37. По ним можно сделать следующее заключение: расстояние от поверхности до фронта пламени в газовой фазе и толщина прогретого слоя в твердой фазе при рассматриваемых давлениях (около 5 МПа) имеют порядок 20 мкм.

Фаза Ts, K Ls, Дж*кг-1 p, МПа r, мм*с-1 т, мкм г, мкм  Твёрдая фаза --- --- 0.1  1.56  120  --- 1  5.16  37  10  17.1  11   Газ 900  -0.5*106  0.1  --- --- 189  1  58  10  17  0  0.1  --- --- 64  1  20  10  6  0.5*106  0.1  --- --- 39  1  12  10  4  1000  -0.5*106  0.1  --- --- 199  1  36  10  12  0  0.1  --- --- 51  1  16  10  5  0.5*106  0.1  --- --- 33  1  10  10  3

Рис. 37. Характерные параметры зоны горения [64].

    Теперь проверим справедливость допущения (7) относительно гомогенности топлива. Типичные значения диаметра частиц окислителя в СТТ составляют от 5 до нескольких сотен мкм. Характерная длина в температурном профиле твердой фазы равна _т / r ~ 20 мкм. Следовательно, предположение о гомогенности твердой фазы оправданно лишь при D_ок << 20 мкм. Поскольку размеры частиц окислителя, как правило, одного порядка с указанной характерной длиной (или даже больше ее), то приходится сделать вывод, что модель, основанная на допущении (7), позволяет прогнозировать лишь тенденции изменения скорости горения. Для учета гетерогенной структуры топлива в модель следует добавить по крайней мере процедуру статистического осреднения. В общем случае величины _т и _г будут существенно меняться в зависимости от давления, температуры поверхности и энерговыделения на поверхности.